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标题: 【吉占】王荣摸牌期望的理论解析计算4.231717 [打印本页]

作者: 孤独尊 时间: 2021-11-12 20:06
标题: 【吉占】王荣摸牌期望的理论解析计算4.231717
本帖最后由孤独尊于 2021-11-13 05:51 编辑

前面看到@阿高傅计算中使用独立重复试验模型计算了王荣【吉占】的摸牌期望王荣吉占和神吕蒙涉猎数学期望计算
但与@侵略如火—— 使用蒙特卡洛模拟出的结果并不相符【献图】王荣吉占数学期望--程序模拟，顺便求debug
于是我使用新的数学模型通过理论计算得出了这个概率，并且与模拟结果相符：
王荣【吉占】的摸牌期望为 55592826/24910339 +2 = 4.23171695897033
【前提说明】
1.为了计算及叙述方便，以下计算中的摸牌期望均不计展示的第一张牌和最后猜错的那一张牌。可以理解为计算的是猜对的次数，最终实际摸牌数等于计算结果+2。
2.本计算假设新展示的牌的点数为1~13的概率相等，均为1/13。(实际上有些牌堆点数为2和Q的牌多一张，且场上已经被摸走的牌会影响剩余牌堆的概率分布)
【核心思想】
利用几何分布的期望计算思想（几何分布：在多次成功概率为p的伯努利试验中，试验X次才得到第一次成功）
在第一次试验中，有p的概率直接成功(X=1)，剩余(1-p)的概率继续进行第二次试验，并且后续除去第一次试验后的期望应该与第一次试验的期望相同，即有1-p的概率使X=1+E，
E = p*1 + (1-p)*(1+E)
解得 E = 1/p
【实际计算】
设13个待求期望E(1)~E(13)，其中E(n)表示如果当前展示的牌的点数为n，则后续猜对次数的数学期望，即条件期望E(x|n)。
令p(n)表示下一张翻出展示的牌点数为n的概率，并假设p(1)=p(2)=p(…)=p(13)=1/13。可以列式：

E1 = p1*0 + p2*(1+E2) + p3*(1+E3) + p4*(1+E4) + …… + p13*(1+E13) = (E2+E3+…+E13+12)/13
E2 = p1*0 + p2*0 + p3*(1+E3) + p4*(1+E4) + …… + p13*(1+E13) = (E3+…+E13+11)/13
E3 = p1*0 + p2*0 + p3*0 + p4*(1+E4) + …… + p13*(1+E13) = (E4+…+E13+10)/13
…………
E6 = p1*0 + …… + p6*0 + p7*(1+E7) + p8*(1+E8) + …… + p13*(1+E13) = (E7+…+E13+7)/13
E7 = p1*(1+E1) + …… + p6*(1+E6) + p7*0 + p8*0 + …… + p13*0 = (E1+…+E6+6)/13 = (E8+…+E13+6)/13
E8 = p1*(1+E1) + …… + p6*(1+E6) + p7*(1+E7) + p8*0 + …… + p13*0 = (E1+…+E7+7)/13
…………
E12= p1*(1+E1) + …… + p11*(1+E11) + p12*0 + p13*0 = (E1+…+E11+11)/13
E13= p1*(1+E1) + …… + p11*(1+E11) + p12*(1+E12) + p13*0 = (E1+…+E12+12)/13

联立求解上述13个方程，即可解出13个未知数E1~E13。
使用Wolfram Mathematica求解，代码为

Solve[Table[ e[k] == Total[1 + e/@If[k<7, Range[k+1, 13], Range[1, k - 1]]]/13, {k, 13}], e/@Range[13]]

复制代码

可以解得
E(1) = 72973629/24910339 = 2.92945
E(2) = 65981917/24910339 = 2.64878
E(3) = 59489613/24910339 = 2.38815
E(4) = 53461045/24910339 = 2.14614
E(5) = 47863089/24910339 = 1.92141
E(6) = 42664987/24910339 = 1.71274
E(7) = 37838178/24910339 = 1.51897
E(8) = 42664987/24910339 = 1.71274
E(9) = 47863089/24910339 = 1.92141
E(10)= 53461045/24910339 = 2.14614
E(11)= 59489613/24910339 = 2.38815
E(12)= 65981917/24910339 = 2.64878
E(13)= 72973629/24910339 = 2.92945
所以，总的期望 E(x) = E[E(x|n)] = Σ p(n)*E(n) 为:
E(x) = 55592826/24910339 = 2.23171695897033
故王荣【吉占】总摸牌期望为
2+Ex = 4.23171695897033

这个方程组不会解的同学可以看下边的矩阵回忆一下线性代数

【附送投票】你觉得王荣强吗？

作者: 诸葛强明 时间: 2021-11-12 20:09
不如步步

作者: 阿高傅 时间: 2021-11-12 20:17
牛皮。赞同

作者: 三影忍者 时间: 2021-11-12 20:17
有一说一，强度确实可以

作者: lbll 时间: 2021-11-12 20:54
E7那里最后的等号右边的E7删去，应该是1-6和8-13相等。

作者: 南风知我意c 时间: 2021-11-12 21:10
我滴乖乖，都是何方神圣在玩三国杀啊

作者: 带带带师兄77 时间: 2021-11-12 21:50
鬼鬼数学系大佬？

作者: 周小二 时间: 2021-11-12 21:59
大佬太强了

作者: 帅得要交税 时间: 2021-11-12 23:03
如果翻个13 那么后面就一直选小如果翻到a那么就一直选大

作者: 段少 时间: 2021-11-12 23:05
但是如果下一张牌，13个数出现的概率是一样的，那就没啥问题，
事实是，三国杀的牌堆，它不正常，
用王荣多试一下，就会发现，8点出现的概率特别高，A，Q，3,4，这些反倒出现的概率低，13个数的概率是不一样的，
而且这还是在第一副牌堆，没有洗牌的情况下，
洗个牌，牌堆的结构又会再次发生变化，个别数字的牌出现的概率还会下降

作者: 濮阳代怀 时间: 2021-11-12 23:07
翻出的第一张牌是1或13的时候，摸牌期望只有2.9吗？感觉和实际的不太相符啊，我感觉应该是E(1)和E(2)和E(3)会差距很大，后面的差距小一些，这样才符合逻辑。

作者: 你肥来了 时间: 2021-11-12 23:42
kankankyix

作者: 侵略如火—— 时间: 2021-11-13 00:13
这真的太强了。。我考虑过迭代，但是完全没想到这种概率+期望的迭代算法，这个软件的求解也很精妙啊目测是精确解而非迭代计算解？

服！

作者: 綺芊丶 时间: 2021-11-13 00:20
大佬

作者: 三影忍者 时间: 2021-11-13 00:21
感觉实际对局没这么高，大概率就是摸二三四五

作者: 快乐童话 时间: 2021-11-13 09:36
都是何方神圣在玩三国杀啊

作者: 丨雨之轩丨 时间: 2021-11-13 09:39
这么厉害应该是单身狗吧

作者: 诸葛再世 时间: 2021-11-13 16:24
好厉害，给大佬鼓掌

作者: 菜菜鸟 时间: 2021-11-13 16:51
甄姬差不多和

作者: 周小二 时间: 2021-11-14 10:29
昨天改了概率，莫得越来越少

作者: 被缠怨の孙笨 时间: 2021-11-14 12:16
不懂就问，玩家猜大小的概率怎么来

作者: 雨水果冻 时间: 2021-11-14 19:58
强不强看价格就知道，新侧滑不是沙子

作者: 匹丶诺曹 时间: 2021-11-16 15:31
给大佬递茶！

作者: 最帅最杰出 时间: 2021-11-20 12:13
整这么复杂，我是不愿意看了，最终还是要看凉

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